Александр Белявский родился в Москве, СССР (Россия) 6 мая 1932 года.
Свои первые роли в кино исполнил уже во время обучения в Щукинском театральном училище, с отличием окончив которое, Александр получил место в составе труппы Театра сатиры.
Одну из своих первых ролей в кино сыграл в картине «Прерванный полет» польского режиссера Бучковского. Съемки картины проходили в Варшаве, где за непродолжительный срок Белявскому удалось выучить польский язык, благодаря чему впоследствии он снялся и еще в нескольких проектах польских режиссеров, в том числе в весьма популярном телевизионном сериале «Четыре танкиста и собака» (1966).
Театр сатиры актер вскоре покинул, однако в течение долгих лет поддерживал тесные связи с участниками его театральной труппы. Например, был одним из первых ведущих популярной юмористической передачи «Кабачок 13 стульев», большую часть участников которой составляли именно актеры Театра сатиры.
В последующие годы регулярно появляется с ролями в кино и на телевидении. Получает небольшие роли в таких кинохитах как «Крах инженера Гарина» (сериал) (1973), «Ирония судьбы, или С легким паром!» (1975), и многих других, менее известных картинах.
Одним из наиболее узнаваемых актеров Советского Союза стал после выхода на телеэкраны культового телесериала «Место встречи изменить нельзя» (1979), в котором Александр исполнил роль бандита Фокса.
На сегодняшний день на счету актера около сотни ролей в кино и на телевидении. При этом снимался Белявский не только в Союзе, но и за рубежом, во Франции, США, Северной Корее, ГДР...
Среди фильмов, участие в съемках которых принял Александр Борисович, наибольшим успехом у зрителя пользовались: «О бедном гусаре замолвите слово» ((1980), «Небеса обетованные» (1991), «Досье детектива Дубровского» (сериал) (1999), «ДМБ» (2000), «Сыщики» (сериал) (2001), «Антикиллер» (2002), «Бригада» (сериал) (2002) и «Ирония судьбы. Продолжение» (2007).
Большим уважением Александр пользуется и в среде профессиональных дублеров. На счету актера не один десяток работ по озвучиванию западных киношедевров. На телевидении Белявского можно было увидеть на съемках популярных в свое время юмористических передач, «С легким паром», «В нашу гавань заходили корабли» и «Белый попугай». В течение года проработал на телеканале РТР в качестве ведущего передачи «На здоровье».
В последние несколько лет жизни Александр практически не занимается дубляжом, компенсируя это, участием в нескольких антрепризах («Императрица», «А-ля фуршет со святой водой», «Лев зимой») и более активной работой на телевидении и в кино.
Умер 8 сентября 2012 года.